-En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómicade primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesianoes una línea recta. Esta función se puede escribir como:
- f(x) = mx + b
donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es lapendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:
- f(x) = mx
mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:
cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto deálgebra lineal.
Ejemplo
Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:
- y = mx + b
que se conoce como ecuación de la recta en el plano x, y.
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:
- y = 0,5x + 2
en esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y = 2.
En la ecuación:
- y = –x + 5
la pendiente de la recta es el parámetro m = –1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y = 5, dado que el valor de b = 5.
En una recta el valor de m se corresponde al ángulo θ de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
- m = tanθ
Funciones lineales de diversas variables
Las funciones lineales de diversas variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma
- f(x, y) = a1x + a2y
representa un plano y una función
- f(x1, x2, ..., xn) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn
representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n + 1)-dimensional.
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